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深度优先和广度优先搜索
有一个六度分割理论,具体是说,你与世界上的另一个人间隔的关系不会超过六度,也就是说平均只需要六步就可以联系到任何两个互不相识的人。
一个用户的一度连接用户很好理解,就是他的好友,二度连接用户就是他好友的好友,三度连接用户就是他好友的好友的好友。在社交网络中,我们往往通过用户之间的连接关系,来实现推荐“可能认识的人”这么一个功能。现在给你一个用户,如何找出这个用户的所有三度(其中包含一度、二度和三度)好友关系?
什么是“搜索”算法?
我们知道,算法是作用于具体数据结构之上的,深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。这是因为,图这种数据结构的表达能力很强,大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。
图上的搜索算法,最直接的理解就是,在图中找出从一个顶点出发,到另一个顶点的路径。具体方法有很多,现在看两种最简单、最“暴力”的深度优先、广度优先搜索。
图有两种主要存储方法,邻接表和邻接矩阵。这里会用邻接表来存储图。需要说明一下,深度优先搜索算法和广度优先搜索算法,既可以用在无向图,也可以用在有向图上。这里以无向图为例。
接下来先创建图:
js
class Graph {
constructor() {
this.vertices = [] // 顶点集合
this.edges = new Map() // 邻接表
}
// 添加顶点方法
addVertex = function(v) {
this.vertices.push(v)
this.edges.set(v, [])
}
// 添加边方法
addEdge = function(v, w) {
// v 顶点的边添加 w
let vEdge = this.edges.get(v)
vEdge.push(w)
// w 顶点的边添加 v
let wEdge = this.edges.get(w)
wEdge.push(v)
// 更新邻接表
this.edges.set(v, vEdge)
this.edges.set(w, wEdge)
}
// 打印图
toString = function() {
var s = ''
for (var i=0; i<this.vertices.length; i++) {
s += this.vertices[i] + ' -> '
var edge = this.edges.get(this.vertices[i])
for (var j = 0; j < edge.length; j++) {
s += edge[j] + ' '
}
s += '\n'
}
return s
}
}
var graph = new Graph()
var vertices = [1, 2, 3, 4, 5]
for (var i=0; i<vertices.length; i++) {
graph.addVertex(vertices[i])
}
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(2, 3);
graph.addEdge(2, 5);
console.log(graph.toString())
广度优先搜索(BFS)
广度优先搜索(Breadth-First-Search),我们平常都把简称为 BFS。直观地讲,它其实就是一种“地毯式”层层推进的搜索策略,即先查找离起始顶点最近的,然后是次近的,依次往外搜索。实际上这样求得的路径就是从 s 到 t 的最短路径。
js
bfs(s, t) {
if (s == t) return;
// 是用来记录已经被访问的顶点,用来避免顶点被重复访问
let visited = new Map();
visited[s] = true;
// 是一个队列,用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点
let queue = new Array();
queue.push(s);
// 用来记录搜索路径。当我们从顶点 s 开始,广度优先搜索到顶点 t 后,
// prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过,这个路径是反向存储的。
// prev[w] 存储的是,顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。
let prev = new Map();
while (queue.length != 0) {
let w = queue.shift();
if (!this.edges.has(w)) return false;
let edges = this.edges.get(w);
for (let i = 0; i < edges.length; ++i) {
let q = edges[i];
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
if (q == t) {
this.print(prev, s, t); return true;
}
visited[q] = true;
queue.push(q);
}
}
}
return false;
}
// 递归打印 s->t 的路径
print(prev, s, t) {
if (prev[t] && t != s) {
this.print(prev, s, prev[t]);
}
console.log(t + " ")
}
最坏情况下,终止顶点 t 离起始顶点 s 很远,需要遍历完整个图才能找到。这个时候,每个顶点都要进出一遍队列,每个边也都会被访问一次,所以,广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E),其中,V 表示顶点的个数,E 表示边的个数。
当然,对于一个连通图来说,也就是说一个图中的所有顶点都是连通的,E 肯定要大于等于 V-1,所以,广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)。广度优先搜索的空间消耗主要在几个辅助变量 visited
数组、queue
队列、prev
数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数,所以空间复杂度是 O(V)。
深度优先搜索(DFS)
深度优先搜索(Depth-First-Search),简称 DFS。最直观的例子就是“走迷宫”。
假设你站在迷宫的某个岔路口,然后想找到出口。你随意选择一个岔路口来走,走着走着发现走不通的时候,你就回退到上一个岔路口,重新选择一条路继续走,直到最终找到出口。这种走法就是一种深度优先搜索策略。
js
dfs(s, t) {
let found = false;
let visited = new Map();
let prev = new Map();
let recurDfs = (w, t, visited, prev) => {
if (found == true) return;
visited[w] = true;
if (w == t) {
found = true;
return;
}
let edges = this.edges.get(w);
for (let i = 0; i < edges.length; ++i) {
let q = edges[i];
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
recurDfs(q, t, visited, prev);
}
}
}
recurDfs(s, t, visited, prev);
if (found) {
this.print(prev, s, t);
return true;
}
}
print(prev, s, t) {
if (prev[t] && t != s) {
this.print(prev, s, prev[t]);
}
console.log(t + " ")
}
深度每条边最多会被访问两次,一次是遍历,一次是回退。所以,图上的深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E),E 表示边的个数。
度优先搜索算法的消耗内存主要是 visited
、prev
数组和递归调用栈。visited
、prev
数组的大小跟顶点的个数 V 成正比,递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数,所以总的空间复杂度就是 O(V)。
完整代码
js
class Graph {
constructor() {
this.vertices = [] // 顶点集合
this.edges = new Map() // 邻接表
}
// 添加顶点方法
addVertex = function(v) {
this.vertices.push(v)
this.edges.set(v, [])
}
// 添加边方法
addEdge = function(v, w) {
// v 顶点的边添加 w
let vEdge = this.edges.get(v)
vEdge.push(w)
// w 顶点的边添加 v
let wEdge = this.edges.get(w)
wEdge.push(v)
// 更新邻接表
this.edges.set(v, vEdge)
this.edges.set(w, wEdge)
}
// 打印图
toString = function() {
var s = ''
for (var i=0; i<this.vertices.length; i++) {
s += this.vertices[i] + ' -> '
var edge = this.edges.get(this.vertices[i])
for (var j = 0; j < edge.length; j++) {
s += edge[j] + ' '
}
s += '\n'
}
return s
}
// 广度优先
bfs(s, t) {
if (s == t) return;
// 是用来记录已经被访问的顶点,用来避免顶点被重复访问
let visited = new Map();
visited[s] = true;
// 是一个队列,用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点
let queue = new Array();
queue.push(s);
// 用来记录搜索路径。当我们从顶点 s 开始,广度优先搜索到顶点 t 后,
// prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过,这个路径是反向存储的。
// prev[w] 存储的是,顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。
let prev = new Map();
while (queue.length != 0) {
let w = queue.shift();
console.log('广度遍历:', w);
if (!this.edges.has(w)) return false;
let edges = this.edges.get(w);
for (let i = 0; i < edges.length; ++i) {
let q = edges[i];
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
if (q == t) {
this.print(prev, s, t); return true;
}
visited[q] = true;
queue.push(q);
}
}
}
return false;
}
// 深度优先
dfs(s, t) {
let found = false;
let visited = new Map();
let prev = new Map();
let recurDfs = (w, t, visited, prev) => {
if (found == true) return;
visited[w] = true;
if (w == t) {
found = true;
return;
}
let edges = this.edges.get(w);
if (!edges || edges.length === 0) return;
for (let i = 0; i < edges.length; ++i) {
let q = edges[i];
if (!visited[q]) {
prev[q] = w;
recurDfs(q, t, visited, prev);
}
}
}
recurDfs(s, t, visited, prev);
if (found) {
this.print(prev, s, t);
return true;
}
}
// 递归打印 s->t 的路径
print(prev, s, t) {
if (prev[t] && t != s) {
this.print(prev, s, prev[t]);
}
console.log(t);
}
}
var graph = new Graph()
var vertices = [1, 2, 3, 4, 5]
for (var i=0; i<vertices.length; i++) {
graph.addVertex(vertices[i])
}
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(2, 3);
graph.addEdge(2, 5);
console.log(graph.toString())
graph.dfs(1, 5);
graph.bfs(1, 5);
总结
解答开篇
如何找出社交网络中某个用户的三度好友关系?
社交网络可以用图来表示。这个问题就非常适合用图的广度优先搜索算法来解决,因为广度优先搜索是层层往外推进的。首先,遍历与起始顶点最近的一层顶点,也就是用户的一度好友,然后再遍历与用户距离的边数为 2 的顶点,也就是二度好友关系,以及与用户距离的边数为 3 的顶点,也就是三度好友关系。
只需要稍加改造一下广度优先搜索代码,用一个数组来记录每个顶点与起始顶点的距离,非常容易就可以找出三度好友关系。
小结
广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法,比起其他高级的搜索算法,比如 A*、IDA* 等,要简单粗暴,没有什么优化,所以,也被叫作暴力搜索算法。所以,这两种搜索算法仅适用于状态空间不大,也就是说图不大的搜索。 。
广度优先搜索,通俗的理解就是,地毯式层层推进,从起始顶点开始,依次往外遍历。广度优先搜索需要借助队列来实现,遍历得到的路径就是,起始顶点到终止顶点的最短路径。深度优先搜索用的是回溯思想,非常适合用递归实现。换种说法,深度优先搜索是借助栈来实现的。在执行效率方面,深度优先和广度优先搜索的时间复杂度都是 O(E),空间复杂度是 O(V)。